前幾天，學生來問了一道題，題目大體如下：

“已知，如圖1，在△ABC中，AB=AC=4,BC=7，如圖2，在BC邊取一點D，連接AD，使得∠DAC=∠C，將△ACD沿AD對折后得到△AED，連接BE，求BE的長。”

對于這道題，起初的思路是：

①將BD和AE的交點記為F，先證△ABC∽△DAC，得到CD=16/7，BD=33/7，進而得到AD=CD=16/7；

②再證△ABD∽△FAD，得到DE=16/231，進而得到BE=(33-16)231；

③最后證△ABD∽△FBE，利用AB/BD=BF/BE得到BE=17/4.

這種解法的問題是：（1）步驟③中證明△ABD∽△FBE是個難點；（2）整個過程的計算量和計算難度都不小，于是我查詢了網絡上關于這道題的解法，基本思路都差不多，但這類解法對于班里大部分同學來說，難度不小！所以我對本題做了進一步的研究:

  根據題意可知AB=AE=AC=4，由此可看成點B、E、C都在⊙A上，且半徑是已知量，或許這道題可以用圓的思想來解決？（如圖1-1）延長EA至G使得GA=EA，連接BG，得到Rt△GBE，根據勾股定理可求BE的長，接下來，問題就轉化成如何求BG的長！

圖1-1                       圖1-2                                         圖1-3

  一開始猜想BG=BC，于是嘗試證明△ABG≌△ABC，但利用角度驗證發現不對，原因如下：設∠ABC=α，則∠C=∠1=∠2=α，∠BAC=180°－2α，得到∠3=180°－4α，進而得到∠BAG=4α，由此可見∠BAC不一定等于∠BAG.（如圖1-2）

  正所謂“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”，發現∠GAC=∠BAC=180°－2α，連接CG，可得△ACB≌△ACG，進而CG=BC=7，此時再延長CA交BG于點H，易得CH⊥BG，同時驚喜地發現BE=2AH（AH是△BEG的中位線，則不需要求BG了），問題最終轉化為求AH的長！（如圖1-3）

關于AH的長，可利用勾股定理列方程4²－AH²=7²－(4＋AH)²解得AH=17/8,最終求得BE=17/4.

回顧整個過程，這種解法涉及到的計算量和計算難度相對簡單很多，同時避開了證明三角形相似這一難點，當然也存在著一些不足之處，敬請指正.

2018年12月6日